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15 April 1955, Volume 5 Issue 2
    

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    论文
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 137-147. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0010
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    Newton's method of successive approximations for finding complex roots of an algebraic equation with real coefficients is a simple method with excellent convergence properties.In the first part of this paper, the problem of convergence of Newton's formula of successive approximations is studied,leading to a modification of Newton's formula in the neighborhood of a multiple root. Applying it to find complex roots of an algebraic equation, we first give a simple physical interpretation of this formula, and then prove that each root, real or complex, simple or multiple, has a circle of monotonic convergence.In the second part, we introduce Newton's method for finding a quadratic factor of a polynomial, derive the well-known synthetic division method for computing the coefficients, and prove that in the neighborhood of a simple non-real root, this synthetic division method possesses the same convergence properties of Newton's formula discussed in the first part of the paper. Lin's iteration method is then derived as a special case of Newton's method under the hypothesis that roots approached are small.At the end of the paper, two examples are given to show the amount of computation involved and the rapid convergence of this method.
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 149-159. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0011
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    In this paper, the solution of a system of n linear equations is interpreted as the particular solution of the first n equations of a linear difference equation taking on a number of zero initial values and a number of zero final values. A simple method of solution by tabulation is then derived and a number of examples are worked out by this tabulation method.In the absence of zero coefficients, each tabulation eliminates one unknown. In the presence of a zero coefficient, each tabulation eliminates at least two unknowns. One tabulation is sufficient to solve any system of three-moment equations.
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 161-172. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0012
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    It is known that there is a type of generalized Stieltjes-Post-Widder inversion formula for integral transforms of the form where λ. is a parameter and the kernel, Ψ, is a regular transform function satisfying 3 conditions, i.e., for a fixed t>0, log Ψ,(u, v, t)=F(u, v, t), F_u, F_(uu) are real continuous functions (u≥0, v>0) such thati) F_u(u,v,t)=0 has a solution u=φ(v,t) with,ii) F_(uu)(u,v.t)<0 for large v and all u>0,iii) F_(uu)(u,v,t)~F_(uu)(θ(t),v,t)→—∞ as u→θ(t), v→∞.In this note, it is shown that ii) can be replaced by a weaker condition, viz.ii)' F_u(u,v,t)≤0 for φ(v,t)0 such that for large v, F_u(u, v, t)|~(-1)≤u/{(1 + δ) log u}, (u≥U). Accordingly, the class K of regular transform functions may be re-defined by i), ii)', iii), and the general inversion formula is still valid: where λ→∞ through such a sequence (λ_n) .that {φ(λ_n,t)}together with lim φ(λ_n, t) = θ(t)>0 belongs to the Lebesgue set for g(n).This is done by suitable modification of Lemma 1 and its proof of [1]. Also, an example has been constructed, satisfying i), ii)', iii) but not ii). Clearly, the ordinary Post-Widder formula is a particular case with Ψ,(u, λ, t)= e~(-λu/t)u~λ. The second part of this note contains the following result:Let F(u. v), F_u(u. v), F_uu(u, v) be continuous in the domain D (— ∞N, F_u(u,v)≥0 (—∞1>q>0 and U, V such that |u F_u(u,v)|>log|u|+ plog log|u|—|F_(uu)(ξ,v)|~q (|u|>U,v>V)ThenThis is an extension of a theorem of a previous paper. It is obvious that the hypothesis iii) can be dropped if we are concerned with the asymptotic behavior of a definite integral instead of an infinite integral.
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 173-191. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0013
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    Dieser vorliegende Aufsatz befasst sich mit einer Methode, die es nus ermoglicht, aile endlich wertigen und funktionell vollstandigen Aussagenkalkule in einen wertigen Aussagenkalkul einzubetten und seine Sub-systeme zu bilden.Die endlich wertigen und funktionell vollstandigen Aussagenkalkule, von denen in dem vorliegenden Aufsatz die Rede ist, sind folgende:1. Ein gewonlicher n (=2, 3…)—wertiger Aussagenkalkul, den wir nennen. Wir verstehen ublich unter C, N, T die drei Grundverknupfungen, aber wir bezeichnen sie mit C~n, N~n, T. Deren Wahrheitswerte lassen sich durch folgende Schemas feststellen: Wir bezeichnen die Matrix der Grundverknupfungen in mit Mat(n).2. Ein anderer Aussagenkalkul, den wir (n=2, 3…) nennen, ist ebenso vollstandig und ebenso funktionell vollstandig. Der Form nach ist einfacher als, denn hat ausser C~n nur eine einzige Grundverknupfung F~n. Der Wahrheitswert yon F~n kann durch folgendes Schema feststellen: Wir bezeichnen die Matrix der Grundverknupfung von mit Mat(n). Dass auch die funktionelle Vollstandigkeit besitzt, wird gelegentlich in diesem Aufsatz gezeigt.Dieser Aufsatz handelt-sich hauptsachlich darum, dass und in einen wertigen Aussagenkalkul einbetten. Diesen Aussagenkalkul nennen wir Es geben swei Grundverknupfungen C und F in Deren Wahrheitswerte konnen durch folgende unendliche Matrix feststellen: Wir bezeichnen die Matrix der Grundverknupfungen von mit M.Die Null (o) ist der einzige ausgezeichnete Weft fur alle Aussagenkalkule.In vorliegendem Aufsatz bezeichnen wir die Menge aller aus Aussagenvariablen und Grundverknupfungen C und F (C, N und T) gebildeten sinnvollen Formeln mit (CF) ((CN)), die Menge aller der Matrix M befriedigten Formeln in(CF) (in (CN)) mit (CFM) ((CNM)), F…Fp(nF vor p) mit n~Fp. Dabei ist p eine sinnvolle Formel, C ist C oder irgendein C~n, F ist F oder irgendein F~n, N ist N order irgendein N~n.In vorliegendem Aufsatz wird versucht, die Aussagenkalkule der zwei unendlichen Folgerungen nach der Methode der Matrix zubehandeln: und hauptsachlich die folgenden Satze zu beweisen: Satz (4.41) Die notwendige und hinreichende Bedingung einer sinnvollen Formel P ∈(C~nF~n Mat(n)) ist eine Formel, die man infolge irgendeiner q ∈(CFM) durch von folgenden Definitionen (1) (2) bestimmten Substitutionen erhalt und die(C~n F~n) gehort. (1) C~nrs wird durch CCs FCss Cr~(n-1)FCrr definiert. (2) F~nr wird durch CCFr FCrr~(n-1)~FCrr definiert. Satz (4.51.) Die notewendige und hinreichende Bedingung einer sinvollen Formel p ∈(C~n N~n Mat (n)) ist eine Formel, die man infolge irgendeiner q ∈(C F M), dutch die von vorliegender Definition (1) und folgenden definitionen (3) (4) bestimmten Substitutionen erhalt und die(C~nN~n) gehort. (3) N~nr wird durch Cr~(n-1)FCrr definiert.(4) Tr wirde dutch FCrr definiert.Aus den Satzen 4.41.51. konnen wir wissen, oder in einzubetten. In diesem Aufsatz werden Frege-Lukasiewiczsches klassiches zweiwertiges System, Wajsberg-Slupeckisches dreiwertiges System und dreiwertiges System 4(1939), 287-308.)als Beispicle benutzt, um uns zu zeigen, wie man imstande ist, die Aussagenkalkule in einzubetten (5.2.3.4.)
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 193-204. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0014
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    In this note we deal with firstly the Tricomi problem of the equation by the method of and Then we solved Cauchy's problem and the third problem of the equation in its hyperbolic domain. The method is based on the Poisson formula of the generalized Euler-Poisson equation.
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 205-242. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0015
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  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 243-252. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0016
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    Soit donne un systeme d'equations differentielles dx_1/dt= X_1 (x_1, x_2),dx_2 /dt= X_2 (x_1, x_2)(1) ou X_i, ЭX_i/Эx_i(i, i=1, 2) sont des fontions continues x_1 et x_2. Nous etablirons la formule pour la multiplicite du cycle limite C : ce qui met en evidence que C coupe les courbes definies par l'equation div X = 0(3) si C est un cycle limite multiple. En particuler, il pourrait se faire que C coincide avec l'une des courbes, nous dirons C un cycle limite avec la densite egale du systeme. Nous etablirons un criterium pour la stabilite des cycles avec la densite egale.
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 253-267. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0017
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    In this paper the limiting distribution of the ratio of two empirical distributions is obtained, and it may be characterized as an analog to Smirnov's test of the difference between two empirical distributions of two independent samples. Recently Renyi has obtained the limiting distribution of the ratio of an empirical distribution and its theoretical distribution. We have given here another proof of Renyi's theorem.Let F_n(x) denote the empirical distribution of a sample of size n on the random variable x with distribution function F(x), i.e. where x_1≤x_2≤…≤x_n is the variational series of the sample x_1, x_2, .., x_n. We have proved: Theorem 1. Let S_m(x) and T_n(x) be the empirical distributions of two independent samples of the same random variable x with continuous distribution function F (x). Put N =mn/(m+n). Suppose that m → ∞ , n → ∞ so that m/n→d≤1, where d is a constant. Then for every fixed aTheorem 2. (Renyi). Let F_n(x) be the empirical distribution of a sample of size n on the random variable x with continuous distribution function F(x), then for every fixed a
  • Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 269-282. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0018
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    The problem of existence and location of limit cycles with even multiplicities was raised by Poincare H. in his classical work "Les courbes definies par des equations differentielles." In two recent papers we obtained two subtypes which can be solved exactly by differentiation alone. In this paper we solve this problem in general. We obtain the following main result: This problem can, in general, be reduced to that with odd multiplicities, so that the classical method of Poincare can be applied.
  • WANG SHOU-JEN
    Acta Mathematica Sinica, Chinese Series. 1955, 5(2): 283-283. https://doi.org/10.12386/A1955sxxb0019
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    The lemma in the above-named paper is incorrect, as is easily seen from the following counter example: The proof of the theorem is thus incorrect, because it relies on this lemma.