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本文在Sobolev—Lorentz空间W 2L2，q（R4）的范数约束下得到了一个最佳的二阶次临界型Adams不等式.进一步，当次临界指标逼近最佳常数时，得到了Adams泛函的上、下界的估计.本文主要采用了Lam和Lu[A new approach to sharp Moser—Trudinger and Adams type inequalities：a rearrangement-free argument，J. Diff. Equ.，2013，255（3）：298—325]的分割水平集方法.
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本文主要研究以下形式的Hausdorff算子Hφf（x）=∫Rnφ（u1，...，un）f（u1x1，...，unxn）du1 · · · dun，其中φ是Rn上的缓增分布.当n ≥ 2，0<p<1，若φ是Schwartz函数，我们得到Hφ在Hp（Rn）上有界当且仅当φ=0.进一步，当n ≥ 2，（n+1）/n<p<1，如果φ仅仅是连续函数，并且Hφ有合适定义，那么Hφ在Hp（Rn）上有界当且仅当φ是常数.这些结果都表明Hausdorff算子Hφ在Hp（Rn）上的有界性很复杂.此外，我们将Hφ转化成卷积型算子，得到Hφ在Lebesgue空间上有界的一些新的结果.
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本文研究如下带有临界增长的分数阶Kirchhoff方程ε2sM（ε2s-3 ∫∫R3×R3·(|u(x)?u(y)|2)/(|x-y|3+2s)dxdy）（-Δ）su+V（x）u=λW（x）f（u）+K（x）|u|2s*-2u，x ∈ R3，其中M是一个连续正的Kirchhoff函数，λ>0是一个参数，3/4<s<1，2s*：=6/（3-2s）是3维的临界指数，并且V（x），W（x）和K（x）都是正位势函数.在Kirchhoff函数M和位势函数的适当假设下，当ε>0充分小和λ足够大时，我们首先证明了上述问题正基态解的存在性.其次，证明了基态解集中在一个由位势函数所刻画的特定集合中.最后，研究了基态解的衰减估计.
