设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,Mm(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n ≥ 3,二阶矩阵方程Xn+Yn=λnI(λ ∈ Z,λ ≠ 0,X,Y ∈ M2(Z)且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xn+Yn=(±1)nI(n ∈ N,n ≥ 3,X,Y ∈ M2(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd (n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:∀n ∈ N,Xn+Yn=λnI(λ ∈ Z,λ ≠ 0,X,Y ∈ Mn(Z));X3+Y3=λ3I(λ ∈ Z,λ ≠ 0,m ∈ N,m ≥ 2,X,Y ∈ Mm(Z)).