本文利用初等方法,结合同余方程解的个数与经典高斯和的性质研究了一类二项指数和五次均值的计算问题,并给出了精确的计算公式.

孙智伟教授猜测: 对于每个奇素数 $p>100,$可要求勾股方程$x^2+y^2=z^2$的解$x,y,z\in[1,p]$,且分别为模$p$的二次剩余或者二次非剩余(共八种情形).对于所有充分大的素数$p,$ 本文证明了这一猜测,其方法主要涉及Lillian B.Pierce和Junyan Xu所证明的关于多元高次型的特征和的Burgess界.

本文得到了在紧黎曼流形上，当Ricci曲率的积分有界时热方程正解的一种椭圆型梯度估计，证明了一种新的积分曲率条件下的体积比较定理，改进了Petersen-Wei的关于积分曲率的体积比较定理.

通常用“小环”$A$，$B$上模的性质刻画三角矩阵环$T=\left (\begin{smallmatrix}A&U\\0&B\end{smallmatrix}\right)$上的模.我们反过来用“大环”$T$上的模范畴的模型结构，刻画了“小环”$A$，$B$上的Gorenstein投射模的稳定范畴$\underline{\mathcal{GP}}(A)$，$\underline{\mathcal{GP}}(B)$.为此，首先要引入Gorenstein投射$T$-模范畴的两个子范畴，并构造了与之对应的两个完备余挠对.此外，将模的余挠对推广到复形范畴，并研究了复形的同伦范畴中的等价与粘合.

标的资产支付离散红利情形下的期权定价,一直是具挑战性的研究问题.本文提出一种基于红利加权的新模型,建立并证明了期权价格表示定理.理论分析显示,提出的新模型能完整地考虑红利支付时间、大小、次数等对期权价格的影响,因此可以给出精确的定价结果.我们还证明了新模型与其它经典模型及基准模型之间的关系,从而解释了新模型具有更优的定价精确度.数值结果也表明,所提出的新模型可为期权给出高度精确的价格、具有很强的定价稳健性.基于此,新模型可望成为已有模型的新的补充.

有限群$G$的子群$H$称为$G$的BNA子群，若对任意的$x\in G$有$H^{x}=H$或$x\in\langle H，H^{x}\rangle$.若有限群$G$的所有素数阶和$4$阶循环子群都是$G$的BNA子群，则称$G$为CBNA群.本文主要刻画CBNA群的结构，并且给出所有真子群都是CBNA群的完全分类.

本文研究了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分.首先，引进了集合的$(C，\varepsilon)$-超有效点，呈现了$(C，\varepsilon)$-超有效点的一些性质和等价刻画，在$(C，\varepsilon)$-超有效性意义下，获得了集值优化问题的标量化定理.其次，定义了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分，研究了$(C，\varepsilon)$-超次微分的存在条件，建立了用$(C，\varepsilon)$-超次微分刻画的Moreau-Rockafellar定理.最后，作为应用，建立了涉及$(C，\varepsilon)$-超次微分的集值优化问题的最优性条件.本文获得的结果统一和推广了一些文献中用超次微分或$\varepsilon$-超次微分刻画的结果.

本文考虑独立同分布的随机环境中带移民的分枝过程$(Z_n)$.基于$(Z_n)$的结构，利用测度变换技巧，并借助随机游动的相关结果，我们得到关于log$Z_n$的Cramér型大偏差展式.

本文研究具有Robin边界条件的传输特征值问题，运用指数型整函数的相关性质刻画特征值密度与势函数支撑区间长度的关系.同时，证明传输特征值问题等价于一类边界条件带有谱参数的Sturm-Liouville问题.

从1976年到2017年，Wintner，Delange，Ushiroya和Tóth逐步证明了定义在整数环上的多元算术函数都可以通过Ramanujan和加以展开.这类似于经典分析中周期函数的Fourier展开.本文主要研究了有限域上一元多项式环$\mathbb{F}_{q}[T]$上Ramanujan和的性质，并证明了定义在$\mathbb{F}_{q}[T]$上的多元算术函数也可以通过多项式Ramanujan和以及酉多项式Ramanujan和加以展开.

本文首次提出完美置换的概念并研究它的代数性质和构造方法，解决了$2n+1$为素数时$n$阶完美置换的存在性.我们还利用完美置换给出了循环空间均衡拉丁方和对称空间均衡拉丁方的构造方法，它们在试验设计中有广泛的应用.

通过对复数域上单李代数的Loop代数进行一维导子扩张，得到一类无限维完备李代数;利用其根空间分解及无外导子的性质，证明了这类无限维完备李代数的2-局部齐次导子都是导子.

本文在Banach空间上提出一种关于伪单调变分不等式问题的新算法.在对参数强加适当的条件下，我们证明由算法生成的序列强收敛到变分不等式的一个元素.所得结果推广和提高了很多最新结果.

本文利用Brown单与Brown单增量的大偏差，得到了Brown单与Brown单增量的局部泛函重对数律.

矩阵型截面数据时间序列的优点在于可以同时刻画多个对象的多个属性.本文重点研究了矩阵型截面数据时间序列的自回归模型，给出了该模型的参数估计、模型识别、白噪声检验三个方面的理论结果.最后再利用矩阵型截面数据时间序列自回归模型，对两支银行股的日收益率序列和日成交量变化率序列进行建模分析.

我们考察了Caputo型分数阶多点值问题的谱配置法.主要思路是求解由目标问题转换而来的非线性弱奇性Volterra-Fredholm型积分方程.出于考察算法收敛性的需要，我们研究了Volterra-Fredholm型Gronwall不等式.收敛性分析结果表明，算法具有谱收敛性质.数值实验结果也验证了此理论分析结果.目前关于分数阶多点值问题数值方法的研究比较少见.本文的方法及相应的收敛性分析能为相关课题的研究提供有益的参考.

本文考虑精算模型受环境过程$\Theta$，保费收入计数过程$\eta$，索赔计数过程I，索赔额过程B影响，建立马氏链环境中带随机收入的复合二项风险模型，简称MRICM，给出其特征五元组；证明了存在概率空间$（\Omega，\mathscr{F}，P）$，及定义在其上的MRICM$（\Theta，\eta，I，B）$，它的特征五元组与给定的重合，并得出有限时间和无限时间条件破产概率的递推方程.

设 $\mathbb{F}_{q}$ 为 $q$ 阶有限域, $\mathbb{F}_{q^{n}}$ 为 $\mathbb{F}_{q}$ 的 $n$ 次扩域. 设$\alpha\in\mathbb{F}_{{q}^n}$, 若 $\{\alpha,\alpha^{q},\ldots, \alpha^{q^{n-1}}\}$ 构成$\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的一组基, 称 $\alpha$ 为 $\mathbb{F}_{q^{n}}/\mathbb{F}_{q}$ 的正规元. 正规元可用来加速有限域上的算术运算, 因而在编码和密码中具有重要应用. 正规元的极小多项式一定是非零迹的不可约多项式, 但反之未必成立. 本文利用线性化多项式给出了关于该问题的一组充分必要条件, 推广了已知结论.

本文具体地计算了有理数域上的四元数Shimura曲线上的Kodaira—Spencer映射以及它在Hodge丛的度量上的影响.前者用到的主要工具是模空间和形变理论,后者用到的主要工具是复阿贝尔簇的理论.

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$_q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$_q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.

本文主要研究了一些与模素数 $p$有关的同余方程解数的计算问题, 并给出精确的计算公式.

本文研究了一些行列式与积和式. 特别地, 我们探讨了新型行列式\normalsize $$\det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{0 ≤ i,j ≤ p-1}{与}det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{1 ≤ i,j ≤ p-1}$$模奇素数$p$, 其中$c$与$d$为整数.我们也提出一些猜想以供进一步的研究.

设$\mathbb{C}_v$是关于非阿绝对值完备的代数闭域，$\varphi：\mathbb{P}^N\rightarrow\mathbb{P}^N$为定义在$\mathbb{C}_v$上次数大于1的态射，$\Phi$是$\varphi$的提升，$\mathcal{G}_\Phi$是$\Phi$的Green函数，$\rho$是$\mathbb{P}^N （\mathbb{C}_v）$上的弦度量.本文首先通过弦度量研究了高维射影空间中点的约化及线性分式约化的性质.利用Green函数$\mathcal{G}_\Phi$定义了态射提升的算术距离，研究了算术距离的性质，模拟1维射影空间上有理函数的结果，通过$\Phi$的Filled Julia集给出了$\Phi$具有好的约化的充要条件.同时，利用Green函数明确刻画了$\Phi$的Filled Julia集.

设$T\in\mathcal{B （H）}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$上的有界线性算子，本文研究了算子投影对$（P，Q）$和复数对$（\alpha，\beta）$的广义投影束$T=P+\alpha Q+\beta PQ$的性质.用投影算子的Halmos分解定理，得到了算子$T$为广义投影束的一些等价条件，给出了广义投影束$T$的谱性质，证明了广义投影束$T$在一定条件下与对角算子相似的性质，建立起广义投影束$T$的谱跟投影$P$和$Q$的谱之间的关系.最后，讨论了广义投影束$T$为特殊算子类，例如Fredholm算子、紧算子、自伴算子的充要条件，并给出了算子$T$关于幂等对的广义投影束的几个性质.

对于任意的实数$x\in （0，1）$，都有其唯一的Engel连分数展式.本文主要研究了部分商的对数构成的序列以非线性速度增长的例外集，给出了相关例外集Hausdorff维数的精确刻画.

在本文中,我们主要研究了一类$\mathbb{C}^{n+1}$中的区域$\Omega^{n+1}_k=\{(z,w)\in\mathbb{C}^n\times\mathbb{C}:|z|^k<|w|<1\}$,其中$k\in\mathbb{Z}^+$,此区域是经典Hartogs三角域的推广.首先我们获得了这类域上Bergman核函数的显式公式,其次给出了使得Bergman投影$L^p$有界的$p$的取值范围,并且我们证明了$p$的这一范围是一个充分必要条件.

本文研究分数扩散过程和其分部积分公式的关系.首先利用Bismut方法给出拉回公式，进而得到分数扩散过程的分部积分公式.反过来，证明了分数扩散过程可由其分部积分公式唯一刻画.

该文先研究基本耦合，得到全变差范数与基本耦合的一个等式.然后利用此等式研究一般状态空间下连续时间Markov过程的遍历性.对遍历的连续时间Markov过程，增加条件$\pi （f）<\infty$，利用耦合方法证明了存在满的吸收集，使得连续时间Markov过程在其上是$f$-遍历的.

本文提出了一种非负投影相关系数(non-negative projectioncorrelation coefficient (NPCC))来度量两个随机向量之间的相关性,其中投影方向来自标准多元正态分布.NPCC是非负的且当且仅当两个随机向量独立时, 其取值为0. 此外,它的样本估计不涉及调节参数, 也不需要对随机向量施加任何矩条件.基于NPCC, 我们进一步提出了一种适用于超高维数据的特征筛选程序.该程序具有稳健性、与模型无关且在弱假设下同时享有确定筛选性质和秩相合性.蒙特卡罗模拟研究表明, 与现有方法相比,基于NPCC的筛选程序具有很好的竞争力. 最后,我们将所提出的筛选程序应用于实际数据分析.

本文介绍向量值指数权Bergman空间$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ $(1 ＜ p ＜ \infty)$上正算子值linebreak Toeplitz算子的一些性质. 首先, 讨论了从 $L^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 到 $A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Bergman投影何时是有界的, 得到了向量值指数权Bergman空间的对偶. 其次, 得到了Carleson条件的几种等价描述, 并用之来刻画Toeplitz 算子在$A^p_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的有界性和紧性. 最后, 考虑了作用于 $A^2_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上的Toeplitz算子的Schatten-$p$类.

本文利用初等数论的知识研究Fibonacci数列奇偶数项三次方的倒数和问题并给出两个有趣的恒等式.

曲率积分不等式在几何不等式中有着举足轻重的地位.本文一方面运用傅里叶分析方法得到了一个关于周期函数的积分不等式，进而获得平面上著名的Ros不等式的加强形式.另一方面运用获得的引理，结合Green-Osher不等式与Steiner多项式，得到平面凸曲线的高次幂的曲率积分不等式.这些不等式在欧氏平面上为著名的Green-Osher不等式的改进形式.

在解决斯坦纳三元系大集存在性问题时,陆家羲引入LD设计和LD$^*$设计的概念,建立这两类设计的若干递推构造和直接构造,在构作斯坦纳三元系大集过程中发挥重要作用.为了构造陆家羲遗留的六个小阶数的斯坦纳三元系大集,Teirlinck依然借助LD设计,使用PBD进行递推构造,最终确定斯坦纳三元系大集的存在谱.本文将彻底解决LD设计存在的充分必要条件,对LD$^*$设计的存在性仅余四个可能例外值.

图$G$的$1$-平图画法是图$G$在平面上的画法使得每条边至多被交叉一次;图$G$的交叉数等于$G$在平面上所有画法下的交叉数的最小值.确定图的交叉数是NP-困难的,而确定图的$1$-平面性是NP-完全的.本文首次确定了连通度至少为$2$的局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的非交叉边条数的紧下界,并给出了局部极大$1$-平图与局部交叉极优$1$-平图的交叉数上界与边数的关系.

令 $\mathbb{F}_q$ 是一个含有 $q$个元素的有限域, 其中 $q$ 是素数 $p$ 的方幂, $t \ge 2$ 是满足$t\not \equiv 1\ (\bmod \,p)$ 的偶数, 且 $\mathbb{F}_{{q^t}}$ 是$\mathbb{F}_q$ 的次数为 $t$ 的扩域. 本文给出$\mathbb{F}_{{q^t}}^n$ 上的一个迹双线性型内积 $\Delta$, 其中 $n$是一个与 $q$ 互素的正整数. 根据定义的迹内积, 研究循环$\Delta$-自正交和循环 $\Delta$-自对偶 $\mathbb{F}_q$-线性$\mathbb{F}_{{q^2}}$-码的基和计数. 此外, 给出一些参数好的$\mathbb{F}_q$-线性 $\mathbb{F}_{{q^2}}$-码.

本文利用首次击中时的一致阶矩研究了一般状态空间强遍历Markov链的扰动估计和收敛速度.对可逆非负定Markov链,我们首先用谱理论研究了几何遍历的收敛速度.基于此估计和首次通过公式,接着研究了强遍历的收敛速度和扰动估计.若Markov链只是可逆的,我们通过研究以$P^2$为转移核的骨架链得到$P$的相应性质.最后,讨论了一般Markov链的扰动估计.

本文证明了有正比例的正整数,它们表成斐波那契数与素数之和的表法数恰好为 $1$. 我们也研究了形如$p+a_k$ 的正整数, 其中 $p$ 为素数, $\{ a_k\}$是满足一定条件的指数型整数列.

本文将证明: 对于最大指数严格小于 $1/22$ 的表示,存在具有正则支的三线性 $\zeta$ 积分测试函数.

本文是模$p$朗兰兹纲领的一篇概述,主要介绍GL₂情形下模$p$朗兰兹纲领的发展历程以及一些最新进展.