本文将阐释与揭示中国古代数学对华夏文明的贡献，除了对物质文明的贡献，特别是对国学、语言、文化等的影响与贡献；中华文化对数学的推崇与影响、中华经典中的数学；中国古代数学成就及其对现代数学的影响与贡献.

本文得到了在紧黎曼流形上，当Ricci曲率的积分有界时热方程正解的一种椭圆型梯度估计，证明了一种新的积分曲率条件下的体积比较定理，改进了Petersen-Wei的关于积分曲率的体积比较定理.

标的资产支付离散红利情形下的期权定价,一直是具挑战性的研究问题.本文提出一种基于红利加权的新模型,建立并证明了期权价格表示定理.理论分析显示,提出的新模型能完整地考虑红利支付时间、大小、次数等对期权价格的影响,因此可以给出精确的定价结果.我们还证明了新模型与其它经典模型及基准模型之间的关系,从而解释了新模型具有更优的定价精确度.数值结果也表明,所提出的新模型可为期权给出高度精确的价格、具有很强的定价稳健性.基于此,新模型可望成为已有模型的新的补充.

有限群$G$的子群$H$称为$G$的BNA子群，若对任意的$x\in G$有$H^{x}=H$或$x\in\langle H，H^{x}\rangle$.若有限群$G$的所有素数阶和$4$阶循环子群都是$G$的BNA子群，则称$G$为CBNA群.本文主要刻画CBNA群的结构，并且给出所有真子群都是CBNA群的完全分类.

通常用“小环”$A$，$B$上模的性质刻画三角矩阵环$T=\left (\begin{smallmatrix}A&U\\0&B\end{smallmatrix}\right)$上的模.我们反过来用“大环”$T$上的模范畴的模型结构，刻画了“小环”$A$，$B$上的Gorenstein投射模的稳定范畴$\underline{\mathcal{GP}}(A)$，$\underline{\mathcal{GP}}(B)$.为此，首先要引入Gorenstein投射$T$-模范畴的两个子范畴，并构造了与之对应的两个完备余挠对.此外，将模的余挠对推广到复形范畴，并研究了复形的同伦范畴中的等价与粘合.

1978年，Tingley提出著名的Tingley问题（等距延拓问题），受到许多学者的重视.遗憾的是到目前为止，即使对于二维Banach空间，这个问题仍是一个开问题.目前的研究主要集中在同类型或不同类型的经典Banach空间之间，并得到了肯定的回答.本文对复Banach空间ℓ^p（Γ）（1 ≤ p < ∞）与复Banach空间E之间的Tingley问题给出了肯定的回答，即复Banach空间ℓ^p（Γ）（1 ≤ p < ∞）满足Mazur-Ulam性质.

本文研究无热传导非正压可压缩磁流体力学方程在二维有界区域上的连续性原理.证明了如果密度和压强有上界，则具有全局强解.特别地，该准则与磁场无关，而与无热传导非正压可压缩纳维—斯托克斯方程的结果相同.

该文先研究基本耦合，得到全变差范数与基本耦合的一个等式.然后利用此等式研究一般状态空间下连续时间Markov过程的遍历性.对遍历的连续时间Markov过程，增加条件$\pi （f）<\infty$，利用耦合方法证明了存在满的吸收集，使得连续时间Markov过程在其上是$f$-遍历的.

本文首次提出完美置换的概念并研究它的代数性质和构造方法，解决了$2n+1$为素数时$n$阶完美置换的存在性.我们还利用完美置换给出了循环空间均衡拉丁方和对称空间均衡拉丁方的构造方法，它们在试验设计中有广泛的应用.

本文考虑独立同分布的随机环境中带移民的分枝过程$(Z_n)$.基于$(Z_n)$的结构，利用测度变换技巧，并借助随机游动的相关结果，我们得到关于log$Z_n$的Cramér型大偏差展式.

本文研究了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分.首先，引进了集合的$(C，\varepsilon)$-超有效点，呈现了$(C，\varepsilon)$-超有效点的一些性质和等价刻画，在$(C，\varepsilon)$-超有效性意义下，获得了集值优化问题的标量化定理.其次，定义了集值映射的$(C，\varepsilon)$-超次微分，研究了$(C，\varepsilon)$-超次微分的存在条件，建立了用$(C，\varepsilon)$-超次微分刻画的Moreau-Rockafellar定理.最后，作为应用，建立了涉及$(C，\varepsilon)$-超次微分的集值优化问题的最优性条件.本文获得的结果统一和推广了一些文献中用超次微分或$\varepsilon$-超次微分刻画的结果.

本文在Banach空间上提出一种关于伪单调变分不等式问题的新算法.在对参数强加适当的条件下，我们证明由算法生成的序列强收敛到变分不等式的一个元素.所得结果推广和提高了很多最新结果.

从1976年到2017年，Wintner，Delange，Ushiroya和Tóth逐步证明了定义在整数环上的多元算术函数都可以通过Ramanujan和加以展开.这类似于经典分析中周期函数的Fourier展开.本文主要研究了有限域上一元多项式环$\mathbb{F}_{q}[T]$上Ramanujan和的性质，并证明了定义在$\mathbb{F}_{q}[T]$上的多元算术函数也可以通过多项式Ramanujan和以及酉多项式Ramanujan和加以展开.

令${\mathbb L}$为一个超Heisenberg-Virasoro 代数,具有一组${\mathbb C}$-$\!$基{$L_{n},I_{n},G_{n}\,|\, n\,{\in}\,{\mathbb Z}$},满足如下关系式 $[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\, [L_{m},I_{n}]=-nI_{m+n},\, [L_{m},G_{n}]=-nG_{m+n}$ 和$[G_{m},G_{n}]=I_{m+n}.$ 本文证明了${\mathbb L}$的所有超反对称超双导子都是内导子. 进一步, 我们还证明了${\mathbb L}$上的每个线性超交换映射都具有这样的形式: $\Psi(x)=f(x)I_{0}$对于所有$x\in{\mathbb L}$ 都成立, 其中$f(x)$ 是从${\mathbb L}$ 到${\mathbb C}$ 的线性映射.

本文研究分数扩散过程和其分部积分公式的关系.首先利用Bismut方法给出拉回公式，进而得到分数扩散过程的分部积分公式.反过来，证明了分数扩散过程可由其分部积分公式唯一刻画.

通过对复数域上单李代数的Loop代数进行一维导子扩张，得到一类无限维完备李代数;利用其根空间分解及无外导子的性质，证明了这类无限维完备李代数的2-局部齐次导子都是导子.

本文讨论了圆环M上正规权Bergman空间A_ω1，2^p（1 < p < ∞）的对偶及其上正符号Toeplitz算子，刻画了这类Bergman空间的对偶空间，并得到了这些正规权Bergman空间之间正符号Toeplitz算子有界与紧的充要条件.

本文讨论穿孔度量空间Gromov双曲性的几何特征.对该类空间，我们证明了一致性，关于穿孔点的环拟凸性和拟双曲度量的Gromov双曲性是互相等价的.应用这一结果，给出了一致度量空间中的一个内点可去的充分必要条件.

本文利用Brown单与Brown单增量的大偏差，得到了Brown单与Brown单增量的局部泛函重对数律.

我们考察了Caputo型分数阶多点值问题的谱配置法.主要思路是求解由目标问题转换而来的非线性弱奇性Volterra-Fredholm型积分方程.出于考察算法收敛性的需要，我们研究了Volterra-Fredholm型Gronwall不等式.收敛性分析结果表明，算法具有谱收敛性质.数值实验结果也验证了此理论分析结果.目前关于分数阶多点值问题数值方法的研究比较少见.本文的方法及相应的收敛性分析能为相关课题的研究提供有益的参考.

设$\mathbb{C}_v$是关于非阿绝对值完备的代数闭域，$\varphi：\mathbb{P}^N\rightarrow\mathbb{P}^N$为定义在$\mathbb{C}_v$上次数大于1的态射，$\Phi$是$\varphi$的提升，$\mathcal{G}_\Phi$是$\Phi$的Green函数，$\rho$是$\mathbb{P}^N （\mathbb{C}_v）$上的弦度量.本文首先通过弦度量研究了高维射影空间中点的约化及线性分式约化的性质.利用Green函数$\mathcal{G}_\Phi$定义了态射提升的算术距离，研究了算术距离的性质，模拟1维射影空间上有理函数的结果，通过$\Phi$的Filled Julia集给出了$\Phi$具有好的约化的充要条件.同时，利用Green函数明确刻画了$\Phi$的Filled Julia集.

矩阵型截面数据时间序列的优点在于可以同时刻画多个对象的多个属性.本文重点研究了矩阵型截面数据时间序列的自回归模型，给出了该模型的参数估计、模型识别、白噪声检验三个方面的理论结果.最后再利用矩阵型截面数据时间序列自回归模型，对两支银行股的日收益率序列和日成交量变化率序列进行建模分析.

设A是含单位元I的C^*-代数，Φ：A→A是满射.本文证明Φ强保k-skew交换性，即_*[Φ（A），Φ（B）]_k=_*[A，B]_k，∀A，B∈A当且仅当Φ（A）=Φ（I）A，∀A∈A，其中Φ（I）∈Z（A），Φ（I）^*=Φ（I），Φ（I）^k+1=I，Z（A）是A的中心.特别地，若Z（A）=CI，则Φ：A→A强保k-skew交换性当且仅当Φ（A）=A，∀A∈A或Φ（A）=-A，∀A∈A.若k是偶数，后一种情形不会出现.

本文主要在套代数框架下研究了线性时变系统的鲁棒稳定性.当系统和控制器具有gap度量下相互独立的扰动时，应用系统图和控制器图的三角形式，给出了该类系统鲁棒稳定的充分条件.进一步地，还给出了多个系统同时鲁棒稳定的充分条件.数值结果表明结论是有效的.

利用Fourier变换、逆变换和Littlewood—Paley分解等方法，本文研究了双线性Fourier乘子在变指标Besov空间的有界性.

本文研究具有Robin边界条件的传输特征值问题，运用指数型整函数的相关性质刻画特征值密度与势函数支撑区间长度的关系.同时，证明传输特征值问题等价于一类边界条件带有谱参数的Sturm-Liouville问题.

本文考虑精算模型受环境过程$\Theta$，保费收入计数过程$\eta$，索赔计数过程I，索赔额过程B影响，建立马氏链环境中带随机收入的复合二项风险模型，简称MRICM，给出其特征五元组；证明了存在概率空间$（\Omega，\mathscr{F}，P）$，及定义在其上的MRICM$（\Theta，\eta，I，B）$，它的特征五元组与给定的重合，并得出有限时间和无限时间条件破产概率的递推方程.

本文研究Heisenberg群上的分数次Hardy算子的最佳界.我们首先给出Heisenberg群上的分数次Hardy算子的L^p（Hⁿ）→L^q（Hⁿ）和L¹（Hⁿ）→L^q，∞（Hⁿ）最佳界.在此基础上，进一步求出一类Heisenberg群上的乘积型分数次Hardy算子在混合范空间上的最佳界.

本文考虑非齐次Kirchhoff型方程解的存在性与多解性：m（||u||^N）（-Δ_Nu+V（x）|u|^N-2u）=f（x，u）/|x|^β+ϵh（x），x ∈ R^N，其中N ≥ 2，||u||^N=∫_R^N（|∇u|^N+V（x）|u|^N）dx，Δ_N^u=div （|∇u|^N-2∇u）是N-拉普拉斯算子，m：R⁺ → R⁺表示Kirchhoff函数，V：R^N → R是连续的位势函数，f：R^N×R → R为连续函数，且满足临界指数增长条件，0 ≤ β < N，h（x）∈（W₀^1，N（R^N））^*，h（x）≥ 0且h（x）≢ 0，ϵ > 0充分小.运用变分方法，结合R^N全空间中的奇异型Trudinger-Moser不等式，我们得到当参数ϵ充分小时，上述问题存在非平凡解.

Bedford-McMullen地毯在分形几何的研究中占有重要地位.尽管该自仿分形缺乏自相似性，我们利用有限模式技术，得到了Bedford-McMullen地毯上的平均测地距离.

设μ是[0，1）上的一个正规函数，本文给出了正规权测度下单位球内单变点球体积分的部分情况下的双向估计，在特殊情况下给出了所有指标情形的双向估计.作为一个应用，本文还给出了一些情况下正规权Dirichlet空间上Cesàro型算子有界或紧的充要条件.

本文首先利用完备随机赋范模的层次结构研究了一致连续模同态半群与其无穷小生成元之间的关系，并进一步给出几乎处处有界半群的指数刻画.在此基础上，建立几乎处处有界半群的微分和积分公式，推广了经典的结论.同时，用反例说明要求上述半群几乎处处有界的条件是必要的.

微分几何中空间中两条曲线段端点间弦长比较的一个经典结论是Schur定理,受其启发本文给出了两条曲线弦切角的比较,以及曲线相对于弦的高度(即曲线上的点到弦所在直线的距离的最大值)的比较.

本文证明带有时滞项g（t，u_t）的非经典反应扩散方程在依赖于时间的空间中拉回吸引子的存在性，其中外力项k（x）∈H^-1（Ω），非线性项f分别满足临界指数增长和任意q-1（q≥2）次多项式增长.

本文研究一类新的双变量部分theta函数，它是经典部分theta函数的推广，主要围绕这类函数的乘积公式、递推关系、级数展开等性质展开讨论.作为主要结果，我们建立了任意两个双变量部分theta函数的乘积公式，推广了Andrews-Warnaar经典部分theta函数的乘积公式，发现了双变量部分theta函数所满足的二阶递推关系，得到了双变量部分theta函数θ（q，x；ab）关于{θ（q，axqⁿ；b）|n ≥ 0}和{θ（q，xqⁿ；b）|n ≥ 0}的级数展开式.作为这些结果的进一步应用，还给出了₃φ₂级数的新的乘积公式和双变量部分theta函数的三元表示.

对于任意的实数$x\in （0，1）$，都有其唯一的Engel连分数展式.本文主要研究了部分商的对数构成的序列以非线性速度增长的例外集，给出了相关例外集Hausdorff维数的精确刻画.

本文研究了Fock空间的正交补空间上由有界可测函数诱导的对偶Toeplitz算子的交换性，刻画出两个对偶Toeplitz算子交换的充分必要条件，并且给出了关于对偶Toeplitz算子上的Brown-Halmos定理.

我们证明了若如下具有有理系数$a (z),a_i (z),b_j (z)$的时滞微分方程
$\left[w (z+1) w (z)-1\right]\left[w (z) w (z-1)-1\right]+a (z)\dfrac{w'(z)}{w (z)}=\dfrac{\sum_{i=0}^pa_i (z) w^i}{\sum_{j=0}^qb_j (z) w^j}$
存在有限多个极点的超越亚纯函数解$w$且其超级小于$1$,则方程退化为一类形式更为简单的方程,改进了Liu和Song的结论.进一步,我们也研究了一类Tumura-Clunie型的时滞微分方程,并得到了其超越亚纯解的一些性质.

相位恢复是一类由无相位采样值恢复待估信号的问题.本文讨论的采样是由动态Gabor系统得到的.我们证明了关于动态Gabor测量矩阵可相位恢复的充分条件，并给出了C²和R³中的例子.

设，是Rⁿ，上的连续多尺度椭球覆盖Θ的中心正则子覆盖.本文引入了一类适应于椭球子覆盖的非齐次拟微分象征类S⁰_δ，δ（），0≤δ<1.此象征类推广了经典的各向齐性非齐次象征类S⁰_δ，δ（I_n），其中I_n是n×n的单位矩阵.然后本文将一个经典的L²（Rⁿ）有界性结果推广到了此象征类S⁰_δ，δ（）的情形下.