标的资产支付离散红利情形下的期权定价,一直是具挑战性的研究问题.本文提出一种基于红利加权的新模型,建立并证明了期权价格表示定理.理论分析显示,提出的新模型能完整地考虑红利支付时间、大小、次数等对期权价格的影响,因此可以给出精确的定价结果.我们还证明了新模型与其它经典模型及基准模型之间的关系,从而解释了新模型具有更优的定价精确度.数值结果也表明,所提出的新模型可为期权给出高度精确的价格、具有很强的定价稳健性.基于此,新模型可望成为已有模型的新的补充.

设$T\in\mathcal{B （H）}$是Hilbert空间$\mathcal{H}$上的有界线性算子，本文研究了算子投影对$（P，Q）$和复数对$（\alpha，\beta）$的广义投影束$T=P+\alpha Q+\beta PQ$的性质.用投影算子的Halmos分解定理，得到了算子$T$为广义投影束的一些等价条件，给出了广义投影束$T$的谱性质，证明了广义投影束$T$在一定条件下与对角算子相似的性质，建立起广义投影束$T$的谱跟投影$P$和$Q$的谱之间的关系.最后，讨论了广义投影束$T$为特殊算子类，例如Fredholm算子、紧算子、自伴算子的充要条件，并给出了算子$T$关于幂等对的广义投影束的几个性质.

本文利用首次击中时的一致阶矩研究了一般状态空间强遍历Markov链的扰动估计和收敛速度.对可逆非负定Markov链,我们首先用谱理论研究了几何遍历的收敛速度.基于此估计和首次通过公式,接着研究了强遍历的收敛速度和扰动估计.若Markov链只是可逆的,我们通过研究以$P^2$为转移核的骨架链得到$P$的相应性质.最后,讨论了一般Markov链的扰动估计.

孙智伟教授猜测: 对于每个奇素数 $p>100,$可要求勾股方程$x^2+y^2=z^2$的解$x,y,z\in[1,p]$,且分别为模$p$的二次剩余或者二次非剩余(共八种情形).对于所有充分大的素数$p,$ 本文证明了这一猜测,其方法主要涉及Lillian B.Pierce和Junyan Xu所证明的关于多元高次型的特征和的Burgess界.

在解决斯坦纳三元系大集存在性问题时,陆家羲引入LD设计和LD$^*$设计的概念,建立这两类设计的若干递推构造和直接构造,在构作斯坦纳三元系大集过程中发挥重要作用.为了构造陆家羲遗留的六个小阶数的斯坦纳三元系大集,Teirlinck依然借助LD设计,使用PBD进行递推构造,最终确定斯坦纳三元系大集的存在谱.本文将彻底解决LD设计存在的充分必要条件,对LD$^*$设计的存在性仅余四个可能例外值.

本文考虑带移民的上临界 Galton-Watson 过程 $\{X_n\}_{n\geq0}$.众所周知,存在常数列 $\{c_n\}_{n\geq0}$,使得当 $n\rightarrow\infty$ 时,$X_n/c_n$ 几乎处处收敛到某个随机变量 $V$.本文利用 Cramér 变换,给出了过程 $\{X_n\}_{n\geq0}$ 的下偏差,即概率 $P(X_n=k)$ 当 $k$ 充分大时的渐近性质,其中 $k_n\leq k\leq c_n$ 且 $k_n\rightarrow \infty$.

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域$\mathbb{F}$_q上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设$h(x_1,\ldots,x_k)$是有限域$\mathbb{F}$_q上一个$m$次完全对称多项式($k\geq 3, \, 1\leq m\leq q-2$):
(1) 若$q$为奇数, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-m-1)q^{k-2}$个零点;
(2) 若$q$为偶数, 且$k\geq 4$, 则$h(x_1,\ldots, x_k)$在$\mathbb{F}$_q^k中至少有$\frac{\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}{q-\lceil \frac{q-1}{m+1}\rceil}(q-\frac{m+1}{2})(q-1)q^{k-3}$个零点.
注意到, 当$m$比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论 1.1和1.2)大约$\frac{q^2}{6m}$倍.

本文研究了响应变量随机缺失时部分线性空间自回归模型的估计问题.结合B样条方法,我们给出了该模型参数部分和非数部分的极大似然估计的EM算法、伪限制极大似然估计的EM算法、以及边际极大似然估计算法,并通过数值模拟比较了三种估计和相应算法在不同的样本容量、缺失比例及空间权重矩阵下数值表现.最后,通过一个实际例子进一步验证三种方法的优良性.

设$A$是秩为$n$的自由Abel群.熟知$A$的自同构群$\operatorname{Aut}(A)=\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$.设$f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_{1}\lambda+a_{0}\in \mathbb{Z}[\lambda]$是不可约多项式, 其中 $a_{0}=\pm1$.设$T=\langle\alpha\rangle$是无限循环群,$\alpha$通过多项式$f(\lambda)$的Frobenius相伴矩阵诱导的自同构作用在$A$上.设$G=A\rtimes T$.我们证明$G$是剩余有限$p$-群当且仅当$p$整除$f(1)$.

在三维闵可夫斯基(Minkowski)空间中,以类光曲线做为初始曲线,在曲线上每一点指定增长方向和增长速度,提出类光增长曲面的概念.通过类光曲线的结构函数研究类光增长曲面的几何结构,同时探究由类光螺线作为初始曲线生成的类光增长曲面的结构表达式,并通过具体的实例描述类光增长曲面的生成过程.

本文研究了一些行列式与积和式. 特别地, 我们探讨了新型行列式\normalsize $$\det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{0 ≤ i,j ≤ p-1}{与}det [(i^2+cij+dj^2)^{p-2}]_{1 ≤ i,j ≤ p-1}$$模奇素数$p$, 其中$c$与$d$为整数.我们也提出一些猜想以供进一步的研究.

本文给出了极小几何$L_p$($p\geq1$)积分曲率的定义.对于一个包含原点在其内部的凸体,主要证明了其$L_p$熵Petty体的存在性和唯一性.同时研究了极小几何$L_p$积分曲率和$L_p$熵Petty体的连续性.

本文主要考虑具有拟周期外力项和可乘白噪声的二阶格点系统在无穷序列加权空间中的随机一致指数吸引子的存在性.首先给出无穷序列加权空间的积空间上的联合连续随机动力系统的随机一致指数吸引子存在的充分条件.其次利用Ornstein-Uhlenbeck过程，构造一个可逆变量代换将有白噪声的随机二阶格点系统（SDE）转化为无白噪声的随机二阶格点系统（RDE），证明RDE系统的解可以定义一个联合连续的随机动力系统.然后证明该联合连续随机动力系统的Lipschitz连续性，分解系统的两解之差为两个部分的和，并估计一些随机变量的期望.最后得到了所考虑系统的随机一致指数吸引子的存在性.

构造群例是群论研究的重要方面,本文研究了两个具体群例的剩余有限性.设$p$是任意素数,$C=\langle c\rangle$是无限循环群,$R=\mathbb{Z}C$是$C$上的整群环,$U (n,R)$是$R$上的单位上三角矩阵群,其中$n\geq 2$,它是幂零类为$n-1$的无限秩的幂零群.本文首先证明了$U (n,R)$是剩余有限$p$-群.其次,记$G=\langle\alpha\rangle\ltimes U (3,R)$,其中$\alpha={\rm diag}(c,1,c)$是3阶对角矩阵.本文给出了$G$的结构,$G$是3元生成的导长为3的可解群,特别地,证明了$G$是剩余有限$p$-群.进一步地,本文构造了$G$的两个商群,它们均不是剩余有限的,这两个商群似乎比Hall发现的经典群例要初等具体.

本文用复分析方法证明了一个$h^p \ (p\geq 1)$调和函数在 $\mathbb{R}^n$ 的单位球上可以分解成一个奇异函数与一个绝对连续函数的和,通过Kelvin变换我们得到了$\mathbb{R}^n$的上半空间中$h^p$调和函数的相应分解.

曲率积分不等式在几何不等式中有着举足轻重的地位.本文一方面运用傅里叶分析方法得到了一个关于周期函数的积分不等式，进而获得平面上著名的Ros不等式的加强形式.另一方面运用获得的引理，结合Green-Osher不等式与Steiner多项式，得到平面凸曲线的高次幂的曲率积分不等式.这些不等式在欧氏平面上为著名的Green-Osher不等式的改进形式.

量子探测主要研究量子态上量子测量的单射性问题.量子系统中的测量均可以由正算子值测度 (POVM) 进行刻画,而每一个 Parseval 框架对应一个秩为$1$的 POVM.本文考虑 Gabor 框架的量子单射性问题,给出 Gabor 框架 $\{\pi (m,n) \varphi \}_{(m,n) \in \Lambda}$ 具有量子单射性的一个充分条件,即其为满 Gabor 框架,且对 $m=0,\,1 \le n \le \frac{N}{2}$, $1 \le m \le \frac{N-1}{2},\,0 \le n \le N-1$ 及 $\frac{N-1}{2} < m \le \frac{N}{2},\,0 \le n \le \frac{N}{2}$,均有 $\langle \pi (m,n) \varphi,\varphi \rangle \ne 0$,并给出此判定在一定误差估计下的稳定性以及在低维情形的应用.

有限域上射影码在组合设计和强正则图中有重要应用.本文首先构造一类二元线性码并在四种情形下研究其参数和重量分布，结果表明这类线性码是射影码且在两种情形下是最优码，它们的对偶码关于球填充界最优或几乎最优；然后利用这些射影码构造$t$-设计和强正则图.

本文考虑二阶线性差分方程 $ p_2(z)y(z+2)+p_1(z)y(z+1)+p_0(z)y(z)=0$ 的亚纯解 $f(z)$ 的唯一性,其中 $p_2(z),p_1(z),p_0(z)$ 是非零多项式,且满足 $p_2(z)+p_1(z)+p_0(z)\not\equiv0$.在 $f(z)$ 与任一亚纯函数 $g(z)$ CM 分担 $0,1,\infty$ 的假设下,给出了 $f(z)$ 的具体形式. 如果 $g(z)$ 也是方程的解,得到了该方程的精确形式.作为推论,如果亚纯函数 $g(z)$ 与 gamma 函数 $\Gamma(z)$ CM 分担 $0,1,\infty$,则 $g(z)\equiv \Gamma (z)$.

本文首先引入了本原李超代数,研究了三种类型本原李超代数及其相关的结构性质.接着引入了李超代数主因子,利用第三种类型的本原李超代数性质给出了李超代数的主因子之间存在的$L$-连接关系.最后,介绍了李超代数的CAP-子代数,证明了若李超代数$L$的所有极大阶化子代数都是CAP-子代数,那么$L$是可解的.

在一定条件下,本文给出了非线性微分方程\begin{equation*}f^{n}(z)+P_{d}(z,f)=p_{1}{\rm e}^{\alpha_{1}z}+p_{2}{e}^{\alpha_{2}z}+p_{3}{\rm e}^{\alpha_{3}z}\end{equation*}亚纯解的表达式,其中$n\geq 3$为正整数,$P_{d}(z,f)\not\equiv0$为关于$f$的微分多项式,次数$d\leq n-1$,系数为$f$的小函数,$p_{j}(j=1,2,3)$为非零常数,$\alpha_{j}(j=1,2,3)$为互异的非零常数.而且,给出了相应的例子辅以说明.

本文利用初等方法以及一些同余方程解的性质研究了一类广义指数和的四次均值的计算问题,并给出了三个有趣的恒等式.

利用非负连续函数 $\{\zeta_n(r)\}_{n\ge 0}$加细在单位圆盘 $|z|<1$ 内满足 ${\rm Re} f(z)<1$的解析函数类的玻尔半径,和加细在单位圆盘 $|z|<1$ 内形如$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{pn+m}z^{pn+m}$ 的解析函数的交错级数$A_f(r)$ 的玻尔半径.在后一种情况,本文也得到了偶和奇解析函数的玻尔半径的信息.进一步,建立了优级数 $M_f(r)$ 与 $f(z)$ 的奇数位和偶数位的关系,并将证明本文的大部分结果都是精确的.

本文证明了有正比例的正整数,它们表成斐波那契数与素数之和的表法数恰好为 $1$. 我们也研究了形如$p+a_k$ 的正整数, 其中 $p$ 为素数, $\{ a_k\}$是满足一定条件的指数型整数列.

本文在 Hilbert 空间上提出一种关于伪单调变分不等式问题的新Tseng外梯度算法.我们证明由算法生成的序列强收敛到变分不等式解集的一个元素.所得结果推广和改进了很多最新结果.

本文研究了具有最大项的集值微分方程初边值问题解的渐近性.我们通过引入Hausdorff度量和半离差度量的概念,应用平均法分别讨论了当方程右端函数平均极限存在和不存在两种情况下,原方程与平均方程解之间的渐近关系.

设$k\in\{5， 6\}，\eta$是任意给定的实数，$\lambda_1，\lambda_2，\ldots，\lambda_7$是不全同号的非零实数且$\lambda_1/\lambda_2$是无理数.证明了：当$0<\sigma<\frac{1}{12（k-3）}$时，不等式$|\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^3+\lambda_3x_3^3+\lambda_4x_4^3+\lambda_5x_5^3+\lambda_6x_6^4+\lambda_7x_7^k+\eta|<（\max_{1\leq j\leq 7}x_j）^{-\sigma}$有无穷多组正整数解$x_1，x_2，\ldots，x_7$.这改进了李伟平与龚克的结果.

通过建立平面中的曲线收缩流的单调公式,给出三个几何不等式新的证明.特别地,通过经典曲线收缩流给出了$\mathbb R^2$上Ros定理一个新的证明,通过一种保面积的曲线收缩流分别给出了$\mathbb R^2$上Ros定理以及其加强形式和曲线的熵不等式新的证明.

本文具体地计算了有理数域上的四元数Shimura曲线上的Kodaira—Spencer映射以及它在Hodge丛的度量上的影响.前者用到的主要工具是模空间和形变理论,后者用到的主要工具是复阿贝尔簇的理论.

本文系统地研究一般状态空间连续时间Markov过程的常返集和非常返集,重点研究了Markov过程的常返集和非常返集的判定方法,为研究一般状态空间连续时间Markov过程的常返性提供了有力的支撑.

复合分位数回归(composite quantile regression)在稳健性和估计效方面具有优势.针对纵向数据单指标模型,本文提出了基于截面复合分位数回归的估计方程和光滑门限(smooth-threshold)变量选择方法.新方法继承了复合分位数回归的优势,且能够利用copula函数刻画纵向数据的组内相关性.基于一些较弱的条件,我们建立了大样本性质.数值模拟和实际应用都验证了方法在有限样本时的表现.

量子环面代数或者量子双仿射代数是量子 $N$-环面李代数在 $N=2$ 的特殊情形,是 环面李代数和 $N$-环面李代数之间的关系之推广.本文将构造 $G_{2}$ 型量子 $N$-环面代数水平 1 的顶点算子表示,该构造可以看作是 $G_{2}$ 型量子仿射代数的顶点算子表示之推广.

本文研究光滑黎曼流形上微分同胚诱导切丛上映射的平均线性无关的一些性质.首先用标架中向量元素之间的距离定义了一个$\theta$函数,并用它给出了平均线性无关的一个等价定义以及得到了一个与$\theta$函数相关的变分原理.其次证明任意一个切向量一定属于某个平均线性无关$k$-标架,这里$k$是系统在该切向量所在基点的格数.

本文进一步发展Coxeter系统$（W，S）$中的$W$-图理想理论，主要研究与$W$-图理想相应的Hecke代数上模的结构系数及典范基元素的直接迭代算法.当计算特定典范基元素时，该算法相比标准递推算法具有计算快速节省内存的优势.由于$W$-图理想概念的广义性，本文的结果也是一些经典情形的推广.

本文研究一类新颖的动态单指标变系数分位数回归模型，该模型反映了响应变量与解释变量之间的动态交互效应，并包含许多重要的模型为特例.为提高模型的可解释性和估计的精确度，讨论了模型的半变系数结构.首先，基于B样条方法得到变系数函数和指标函数的估计，采用惩罚函数方法识别模型的半变系数结构，提出了该半参数模型的估计方法.其次，建立了各估计量的相合性和渐近正态性，并且参数估计量和非参数估计量均可达到最优收敛速度.数值模拟表明本文所提出的模型和估计方法具有优良的性质.最后，分析一组NO$_2$数据以展示所提方法在实际应用的表现.

本文将证明: 对于最大指数严格小于 $1/22$ 的表示,存在具有正则支的三线性 $\zeta$ 积分测试函数.

本文证明了一个高阶有理型差分方程的唯一非负平衡点是全局吸引的.作为应用,我们的结果不仅改进了许多已知的结果,而且解决了几个“公开问题与猜想”.

本文研究了固定效应空间自回归分位数模型的变量选择问题.通过惩罚压缩相关参数,达到了同时识别空间效应、估计未知参数和选择解释变量的目的.此外,给出了变量选择的实现算法并证明了惩罚估计量的大样本性质.数值模拟和实例分析均表明了所提方法的优良表现.

研究来源于复杂系统离散逼近中的一类可拓展概率逼近模型,欧氏空间中该问题模型可重塑为一类由线性流形和斜流形组成的乘积流形约束矩阵优化问题.结合乘积流形的几何性质,基于Zhang-Hager技术拓展,本文设计一类适用于问题模型的黎曼非线性共轭梯度法,并给出算法全局收敛性分析.数值实验验证所提算法对于问题模型求解是高效可行的,且与其它黎曼梯度类算法及黎曼优化工具箱中已有的黎曼梯度类算法和二阶算法相比在迭代效率上有一定优势.