数学学报 1958, 8(3) 444-455 DOI:   cnki:ISSN:0583-1431.0.1958-03-010   ISSN: 0583-1431 CN: 11-2038/O1

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熊庆来
亚纯函数理论的一个基本不等式及其应用(Ⅱ)
熊庆来
中国科学院数学研究所
摘要: <正> Ⅲ.于唯一性问题的应用9.设 f_1(x)与 f_2(x)为两个于(开的)全平面上为亚纯的函数;依据定理Ⅰ易于证明关于 f_1 与 f_2 的公共值之一个定理,相当于奈氏所得者,如他命 n_0(γ,a)表f_1(x)=a 及 f_2(x)=a (33)两方程在|x|≤γ圆内的公根的个数,而置重级不论(即每根只计一次).继置
关键词
MSC2000 基本不等式:6971,亚纯函数:6937,例外值:1325,有理函数:880,公共值:511,亏量:415,全平面:285,有理分数:282,?
UNE INEGALITE FONDAMENTALE DANS LA THEORIE DES FONCTIONS MEROMORPHES ET SES APPLICATIONS(Ⅱ)
HIONG KING-LAI(Institut des Math(?)matiques,Academia Sinica)
Abstract: Applications aux problémes d'unieité.Les inégalités établies dans la pre-miere partie du present mémoire nous permettont de donner quelques théorèmesd'unicité,que l'on ne peut pas obtenir au moyen de celle de M.Milloux.Soit f(x)une fonction méromorphe dans tout le plan.Nous désignonspar(?)(a)l'ensemble des points en lesquels f prend la valeur a et par (?)~(k)(b),celui des points en lesquels f~(k)prend la valeur b,chaque point multiple étantcomptéune seule fois.Nous avons d'abord les théorémes suivants qui ontété annoncés darts la Note cirée et qui se trouvent ici avec une rectification etun peu d'amélioration.Théoréme Ⅳ.Soit f(x)une fonction méromorphe qui admet zéro et l'infinicomme valeurs exceptionneUes de défaut 1.En désignant par a_μ,(μ=1,…,4)et b_v(v=1,…,4)deux groupes de valeurs finies différentes de zéro et dis-tinctes entre eUes dans le même groupe,la fonction fest univoquement déter-minée par cinq ensembles de points pris d'une facon quelconque parmi les(?)Théorème V.On conserve la première partie de l'énnoncédu théorèmeprécédent;si b_v(v=1,2,3)sont trois valeurs finies différentes de zéro etdistinctes entre elles,la fonction est déterminée,àun polynome de degrék—1additif prés,par les trois ensembles de points(?)~(k)(b_v)(v=1,2,3).Nous trouvons ensuite les théorèmes suivants: Théorème Ⅵ.Etant donnée une fonction f(x)sous les mêmes hypothèsesque darts le théorème IV,on considére l+1 fonetions méromorphes a_i(x)(i=O,1,…,l)telles que(?)et on pose(?)avee f~((0))=f.Alors,en désignant par a_μ et b_v deuxgroupes de hombres comme darts le théorème IV et en changeant la notation(?)(a)en(?)(a,g)pour une fonction g,la fonction fest univoquement deter-minée par cinq ensembles pris d'une facon arbitraire parmi les(?)(a_μ,f)et les(?)Théorème Ⅶ.Soit f(x) une fonction méromorphe;on suppose qu'elle ad-metre l'infini comme valeur exceptionnelle de défaut 1 et qu'en excluant aubesoin une suite d'intervalles de longueur totale finie la condition(?)soit vérifiée.Alors la fonction f est univoquement déterminée par sept ensem-bles pris d'une facon quelconque parmi(?)(a_μ)et(?)érant des valeurs finies (différentes de zéro ou non.)et distinctes entre elleset b_v,des valeurs finies non nulles et distinctes entre elles.Théorème Ⅷ.On conserve la premère partie de l'énoncéde Ⅶ;sib_v(v=1,…,4)sont quatre valeurs finies différentes de zéro et distinetes entreelles,la fonction f est déterminée,un polynome de degré k—1 additif près,par les quatre ensembles (?)(b_v)(v=1,…, 4).Enfin l'introduction de la fonction f_i considérée dans le théorème Ⅵ pour-ront encore donner des théorèmes analogues àV,Ⅶ et Ⅷ.Applications àl'étude des défauts.Soit f(x)une fonction mé(?)omorphe.En généralisant une notion introduite par M.Milloux,nous appelons défautrelatif d'une valeur a pour f~((k))l'expression(?)et nous le désignons par δ_r~((k))(a,f)ou par δ_r(a).Par comparaison le défautordinaire de a pour f~((k)) sera dit défaut absolu de a pour f~((k)) et sera désignépar δ_a~(k)(a,f)ou par δ_r~((k))(a).Par définition on volt que δ_r~((k))(a,f)≤1 et pour la classe importante desfonctions dépourvues d'intervalles extraordinaires,nous montrons que l'on air(?)ce qui permet de conclure que tout défaut relatif pour f~((k)) a—k pour borneinférieure.Dans le cas oùk=1,on retrouve ainsi le résultat de M.Milloux.Et en nous bornant au cas des fonctions de cette classe,nous démontronsimmédiatement les propositions générales:Soit f(x) une fonction méromorphe dépourvue d'intervalles extraordinaireset ne se réduisant pas àune constante;si eUe admet l'infini et une autre va-leur a comme valeurs exceptionnelles de défaut 1,le défaut relatif d'une valeura pour f~((k)) est égal àson défaut absolu pour f(k).fest définie comme précédemment;si elle admet l'infini comme valeur de défaut 1 et si,la condition(1)est vérifiée, alors le défaut relatif d'une valeura pour f~((k)) est égal àson défaut absolu pour f~((k)).La première de ces
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收稿日期 1957-12-06 修回日期 1900-01-01 网络版发布日期  
DOI: cnki:ISSN:0583-1431.0.1958-03-010
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